Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte

gehören zur Kurvenuntersuchung. Wichtige Grundlage für die Bestimmung dieser Punkte ist das Wissen zur „Nullstellenbestimmung“. Das folgende Mindmap zeigt dir alle wichtigen Schritte und Zusammenhänge zur Bestimmung der Punkte:

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Hochpunkte und Tiefpunkte (Extrempunkte)

Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) sind sogenannte Extrempunkte. An diesen Stellen hat die Funktion ihren größten oder kleinsten Wert in einem bestimmten Bereich.

Vorgehen:
1. Erste Ableitung bilden: f'(x)
2. f'(x) = 0 setzen
3. Zweite Ableitung prüfen:
    – f“(x) > 0 → Tiefpunkt
    – f“(x) < 0 → Hochpunkt
4. x-Wert in die Funktion einsetzen → y-Wert berechnen
5. Punkt angeben

Wichtig: Am Hoch- und Tiefpunkt ist die Steigung immer 0.

Wendepunkte (WP)

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert.

Merkmale:
– Der Graph wechselt von „linksgekrümmt“ zu „rechtsgekrümmt“ (oder umgekehrt)
– Die Steigung ist dort maximal oder minimal

Vorgehen:
– Zweite Ableitung bilden: f“(x)
– f“(x) = 0 setzen
– Mit der dritten Ableitung prüfen: f“'(x) ≠ 0
– Punkt berechnen

Sattelpunkte (SP)

Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt.

Eigenschaften:
– kein Hochpunkt
– kein Tiefpunkt
– waagerechte Tangente

Bedingungen:
– f'(x) = 0
– f“(x) = 0
– f“'(x) ≠ 0

Allgemeine Vorgehensweise

Bei allen Punkten gehst du ähnlich vor:
– Ableitungen bilden
– Gleichungen lösen
– Ergebnisse überprüfen
– Punkt berechnen