Extremwertprobleme
gehören zu den wichtigsten Anwendungen der Analysis. Dabei geht es darum, eine Größe zu maximieren oder zu minimieren. Die notwendigen Grundlagen dazu findest du in den Analysis Grundlagen. Die folgende Mindmap zeigt dir alle wichtigen Schritte und Zusammenhänge übersichtlich:
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Grundlagen
Bei Extremwertproblemen suchst du den größten oder kleinsten Wert einer Größe.
Typische Fragestellungen:
– maximal
– minimal
– möglichst groß
– möglichst klein
Ablauf
Hauptbedingung (HB) aufstellen
Die Hauptbedingung beschreibt die Größe, die optimiert werden soll.
Beispiele:
– eine Fläche soll minimiert werden
– ein Volumen soll maximiert werden
– ein Umfang soll am größten werden
Ziel: Eine Funktion aufstellen, die maximiert oder minimiert wird
Nebenbedingung (NB) nutzen
Die Nebenbedingung liefert zusätzliche Informationen aus dem Text.
Beispiele:
– gegebene Länge
– gegbenes Volumen
– Zusammenhang zwischen Variablen / Funktion
Wichtig: Oft muss die Nebenbedingung noch eine Größe umgestellt werden.
Zielfunktion aufstellen
Die Zielfunktion ist die Funktion, die du später untersuchst.
Vorgehen: Nebenbdingung wird in die Hauptbdingung eingesetzt
Ziel: Funktion mit nur einer Variablen
Extremstelle berechnen
Jetzt wird die Zielfunktion untersucht:
1. Ableitung bilden
2. f'(x) = 0 setzen
3. Mit zweiter Ableitung prüfen
Ergebnis: Maximum oder Minimum
Zur Bestimmung dieser Punkte nutzt du die gleichen Methoden wie bei Hochpunkten und Tiefpunkten.
Allgemeine Vorgehensweise
- Hauptbedingung aufstellen
- Nebenbedingung aufstellen
- Nebenbedingung umstellen
- in Hauptbedingung einsetzen
- Zielfunktion aufstellen
- ableiten und Extremstelle bestimmen
- Ergebnis interpretieren
Viele Rechenschritte wie das Umformen und Vereinfachen kennst du bereits aus dem Vereinfachen von Termen.