Grenzwerte gegen eine Zahl

Dabei wird oft untersucht, wie sich eine Funktion verhält, wenn sich x einer bestimmten Zahl nähert. Genau darum geht es bei Grenzwerten gegen eine Zahl. Die folgende Mindmap zeigt dir alle wichtigen Lösungswege und Methoden übersichtlich:

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Grundlagen

Beim Grenzwert gegen eine Zahl betrachtet man, was mit einer Funktion passiert, wenn sich x einem bestimmten Wert nähert.
Ziel: Verhalten der Funktion für x → „gegen eine Zahl“ verstehen

Verhalten von links und rechts
Bei Grenzwerten gegen eine Zahl ist es wichtig, das Verhalten von beiden Seiten zu betrachten:
– Annäherung von links und
– Annäherung von rechts

 Nur wenn beide gleich sind, existiert der Grenzwert!

Wichtige Lösungswege

1. Einsetzen
Setze den Wert direkt in die Funktion ein.
Wichtig: Das funktioniert nur, wenn im Nenner keine 0 entsteht!

2. Umformen 
Falls beim Einsetzen ein Ausdruck der Form 0/0 entsteht, musst du den Term umformen.

Typische Methoden:
– Ausklammern
– Binomische Formeln anwenden
– Faktorisieren

Ziel: Den Term so vereinfachen, dass sich der Grenzwert berechnen lässt

3. Wertetabelle
Berechne Funktionswerte für Zahlen, die sich der Stelle annähern (von links und rechts).

Beispiel: Grenzwert gegen 1
– 0,9 / 0,99 / 0,999 
– 1,1 / 1,01 / 1,001

4. h-Methode
Eine weitere Möglichkeit ist die h-Methode, bei der man sich der Stelle schrittweise nähert.