Integralrechnung
ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen. Die Integralrechnung hilft dir, Flächen und Funktionen zu berechnen. Die folgende Mindmap zeigt dir alle wichtigen Regeln, Methoden und Zusammenhänge übersichtlich:
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Grundlagen
Das Integral ist die Umkehrung der Ableitung.
Zusammenhang:
– f(x) → Ableitung → f'(x)
– f(x) → Integral → F(x)
Begriffe:
– Stammfunktion: F'(x) = f(x)
– unbestimmtes Integral: ∫ f(x) dx = F(x) + C
Vereinfachung durch Umformen
Vor dem Integrieren solltest du den Term oft vereinfachen.
Methoden:
– Klammern auflösen
– Ausklammern
– Kürzen
– Potenzgesetze anwenden
Ziel: Einfachere Terme → leichter integrieren
Viele dieser Methoden kennst du bereits aus dem Vereinfachen von Termen.
Integralregeln
Beim Integrieren gelten wichtige Regeln:
– Potenzregel: xⁿ → xⁿ⁺¹ / (n+1)
– Konstante bleibt erhalten
– +C nicht vergessen
Hinweis: Aufleiten bedeutet: „Potenz +1 und durch neue Potenz teilen“
Ausnahmen beachten
Einige Funktionen folgen besonderen Regeln:
– f(x) = 1/x → ln(x)
– e-Funktion bleibt erhalten
Substitution (Kettenregel rückwärts)
Die Substitution ist die „Umkehrung der Kettenregel“.
Vorgehen:
– innere Funktion erkennen
– ersetzen
– integrieren
Beispiel:
∫ (2x + 4)⁴ dx = (1/5) · (1/2) ·(2x + 4)⁵ + C = (1/10) ·(2x + 4)⁵ + C
Merksatz: „Äußere Aufleitung, innere Ableitung“
Lineare Ausdrücke
Bei einfachen linearen Funktionen kannst du direkt integrieren.
Beispiele:
∫ e^(3x+4) dx = (1/3) · e^(3x+4) + C
∫ (3x + 2)² dx = (1/9) · (3x + 2)³ + C
Allgemeine Vorgehensweise
- Term vereinfachen
- passende Regel wählen
- integrieren
- +C ergänzen